Álgebra lineal Ejemplos

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

Paso 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

Paso 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Paso 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $b$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Suma $\frac{2 b}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.1.2

Para escribir $b$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.1.3

Combina $b$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Mueve $3$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.1.5.2

Suma $3 b$ y $2 b$ .

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.3

Divide cada término en $5 b = 35$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $5 b = 35$ por $5$ .

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $35$ por $5$ .

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

Paso 5

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

Paso 6

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$